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CIRCUNFERENCIA
1. Ecuación de la circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan
de un punto fijo llamado centro.
El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
Se cumple, por tanto:
De donde
Si hacemos: D = -2a, E = -2b y F = a2 + b2 - r2
la ecuación adopta la forma:
2. Intersección con una recta
Una recta y una circunferencia pueden adoptar las posiciones siguientes:
Secante: Si tienen dos puntos comunes.
Tangente: Si tienen un punto común.
Exterior: Si no tienen ningún punto común.
Para averiguar los puntos comunes (y por consiguiente la posición) entre una recta y una circunferencia, habrá que resolver el sistema de las ecuaciones de ambas líneas.
3. Potencia de un punto
La potencia de un punto respecto a una circunferencia la expresaremos por medio de la fórmula siguiente:
La potencia es en realidad el cuadrado de la distancia del punto P(x1, y1) al punto M(a, b) de la tangente a la circunferencia trazada desde P.
4. Eje radical y centro radical
Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas.
Siendo
C1 : x2 + y2 + D1x
+ E1y + F1 = 0
C2 : x2 + y2 +
D2x + E2y + F2 = 0
La ecuación del eje radical de C1 y
C2 es:
(D1 – D2) x + (E1
– E2) y + (F1 – F2) = 0
Se llama centro radical de tres circunferencias al punto de intersección de las tres circunferencias.
Siendo
C1 : x2 + y2 + D1x
+ E1y + F1 = 0
C2 : x2 + y2 +
D2x + E2y + F2 = 0
C3 : x2 + y2 +
D3x + E3y + F3 = 0
Restando las ecuaciones dos a dos obtenemos tres ejes radicales. Está claro que si los dos primeros se cortan en un punto P(x1, y1), el tercero también pasa por ese punto. Este punto será, por tanto, el centro radical.
5. Intersección de dos circunferencias
Las posiciones que pueden adoptar entre sí dos circunferencias, son las siguientes:
Secantes: Si tienen dos puntos comunes.
Tangentes: Si tienen un punto común.
No cortarse: Si no tienen puntos comunes.
Para averiguar la posición que adoptan, habrá que resolver el sistema de ecuaciones que surge al considerar la ecuación de una cualquiera de las dos y la del eje radical de ambas.
6. Centro radical de tres circunferencias
Se llama así al punto del plano que tiene igual potencia respecto
de las tres circunferencias.
En el caso de que exista habrá que resolver el sistema que surge al hallar el eje radical de C1 y C2 con el eje radical de C2 y C3.
7. Ecuaciones de la tangente y de la normal
a una circunferencia en un punto
Siendo p1 y p2 las coordenadas del punto de tangencia, y C(a, b) el centro de la circunferencia, la ecuación de la tangente se podrá escribir de la forma siguiente:
(p1-a)(x-a) + (p2-b)(y-b) = r2
La normal a esa circunferencia por el punto P es perpendicular a la tangente por el mismo punto.