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Problemas de Selectividad – Opción Ciencias

1. La rampa de un tobogán, de esos que descienden los niños en los parques infantiles, está fabricado empalmando dos tramos, dos piezas metálicas. ¿Qué precaución hay que tomar al empalmar las dos piezas para que el descenso no ofrezca dificultad a los niños?
Se sabe que un tal tobogán tiene un tramo recto en su parte alta y un segundo tramo curvo. El tramo recto es el segmento AB, donde A(-3,4) y B(0,1). El tramo curvo empieza en B y desciende hasta el suelo (y = 0) al que llega con tangente horizontal. Si este tramo curvo es una parábola  y = ax2 + bx + c, hallar esta.

2. Dados los puntos A(0,1) y B(4,5), se pide:

     a) Dibujar un punto X tal que el triángulo ABX sea rectángulo con hipotenusa AB.
     b) ¿Cuantos puntos hay que cumplan esa condición?
     c) ¿Qué figura forman esos puntos X?. Halla su ecuación.

3. Demostrar que si  A es una matriz de  orden  2x2  y  At   su traspuesta,  entonces se verifica que   (At)-1 = (A-1)t .

4. Comprobar si las rectas

x = 3y,             y = x,               x + y = 1
forman un triángulo y, en caso afirmativo, calcular su área.

5. En el espacio (y en ejes OXYZ; el eje OZ es vertical ascendente) se consideran las rectas
r:

Una conducción de agua ocupa la posición de r. En un punto P de esta conducción se produce una fuga de agua; el correspondiente goteo cae sobre un punto Q de s. Hallar los puntos P y Q.

6. Se llama “traza” de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal. Hallar A, matriz de tamaño  2x2, sabiendo que la traza de  A.At es cero.

7. Un sistema lineal de dos ecuaciones con cuatro incógnitas ¿puede ser compatible e indeterminado? Razonar la respuesta con algún ejemplo.

8. Se considera un círculo de radio r

    a) Probar que el rectángulo de área máxima inscrito en el círculo dado es un cuadrado.

    b) Considerando el círculo inscrito en dicho cuadrado, calcular el cociente entre las áreas de los dos círculos.

9. Se considera la matriz

A(t) =

     a) Determinar los valores del número real t para los que el determinante de A(t) sea cero.
     b) Hallar la inversa de la matriz  A(t)  para t = -1.
     c) Resolver para  t = 1 el sistema.

A(t)

10. Se consideran dos puntos fijos  A(1,-2) y B(-1,2) y otros dos puntos P y Q sobre los ejes coordenados (véase la figura adjunta), que varían de manera que OQ = 2OP. Hallar el lugar geométrico que describe el punto M, en el que se cortan las rectas variables  AP y BQ.

 

 

11. Los rayos del sol descienden según la dirección y el sentido del vector (-5,-1), en el plano XOY. En el punto A(1,0) se sitúa un pequeño espejo plano de manera que el rayo de Sol que llega a A, tras reflejarse en el espejo, pasa por el punto B(0,3). Hallar la ecuación de la recta sobre la que se asienta el espejo.

 

 

12. Dos varillas fijas AA’ y BB’ , de espesor despreciable, están entrelazadas por una goma elástica (del modo que se indica en la figura adjunta).
La goma, que está tensa, puede deslizar libremente por las varillas  (sin rozamiento). Se sabe que las varillas ocupan las posiciones (en ejes cartesianos XYZ):

    

13. En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según las diagonales de las tres caras que pasan por dichos vértice. Los módulos o magnitudes de estas fuerzas son 1,2 y 3. Hallar el módulo de la fuerza resultante de aquellas tres.

14. Siendo las matrices  A =

    a) ¿ Se cumple la igualdad   rango (A.B) = rango (A).rango(B) ¿ Justificar la respuesta.
    b) Encontrar todas las matrices  X =  tales que  X.A = I, donde I es la matriz identidad de orden 2.
    c)      ¿ Existe alguna matriz Y, cuadrada de orden 2, tal que  A.Y = Bt (Bt es la matriz traspuesta de B). Justificar la respuesta.

15. Se considera un sistema  S de m ecuaciones lineales con n incógnitas, que es compatible determinado. Sea S’ el sistema que resulta de prescindir en S de la última ecuación. Contesta de forma razonada:

    a) ¿Puede ser incompatible el sistema S’ ?
    b) ¿Es compatible el sistema S’ ?
    c) ¿Ha de ser compatible indeterminado el sistema S’ ?

16. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 20 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente., con lo que su beneficio total sería de 6 monedas de oro. Pero consigue más (cosa que hoy no llama la atención), pues con la venta obtiene de ellos ganancias del 80%, del 90% y del 85% respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 17 monedas de oro, ¿cuanto le costó cada objeto?

17. Dada la matriz  A =  

    a)  Determina si tiene inversa y obtenla.
    b)  Comprueba, aplicando la definición, que la solución es correcta.
    c)  Escribe un ejemplo de matriz de 2x2 que no tenga inversa.

18. Sea ABC un triángulo tal que la mediana AM, correspondiente al lado BC, divide al ángulo  en dos ángulos que miden 60º y 30º. Hallar razonadamente los tres ángulos del triángulo. Hallar en función de la longitud m =AM, de la mediana, el área del triángulo.

19. De las siguientes propiedades de la dependencia lineal, decir cual o cuales son ciertas, justificando las respuestas:

    a) Un conjunto de vectores con dos o más vectores iguales no es linealmente dependientes.
    b) En R3, si tres vectores son linealmente dependientes, entonces son coplanarios.
    c) Si en un conjunto de vectores está el vector 0, entonces el conjunto es linealmente dependiente.

20. Demostrar que si los puntos A(x1 , y1, z1), B(x2 , y2 , z2), C(x3 , y3  , z3) están en línea recta, entonces se cumple:

                          =  0