¿CONOCIMIENTOS OCULTOS EN LA MATEMÁTICA?

Multitemático. Etimologías interesantes. Errores comunes de interpretación. Cambio del sentido original de una palabra. Creencias populares que no son ciertas. Siempre desde el respeto por todas las creencias y posturas; dando el fundamento y las referencias exactas de lo que se dice.

Moderador: Carlos Alberto Carcagno

¿CONOCIMIENTOS OCULTOS EN LA MATEMÁTICA?

Notapor Carlos Alberto Carcagno » 26-07-2004 19:26

¿HAY UN SABER MATEMÁTICO OCULTO?

El 17 de febrero de 1600, tras haber dicho a sus inquisidores que era mago y que la alta magia se basa en la creencia en otros mundos habitados y requiere un gran conocimiento matemático, moría Giordano Bruno, quemado vivo como hereje contumaz.

"Algunas de las creencias y leyendas que la Antigüedad nos ha legado están tan universal y profundamente arraigadas, que nos hemos habituado a considerarlas casi tan viejas como la misma Humanidad. Sin embargo, nos sentimos inclinados a investigar hasta qué punto la coincidencia de muchas de estas creencias y leyendas es fruto de la casualidad, o bien hasta qué punto podrían ser el reflejo de la existencia de una antigua civilización, desconocida e insospechada, y todos cuyos otros vestigios hubiesen desaparecido."

Sir Frederic Soddy (1877 - 1956; Premio Nobel 1921)

Para los antiguos egipcios un número, su duplo, su mitad, su raíz y su cuadrado eran diferentes aspectos de un mismo ente. Aquí creo encontrar una relación parcial con la música: si una cuerda vibra en una frecuencia fundamental, la mitad de la cuerda vibra al doble de esa frecuencia (una octava) y el doble de la cuerda lo hace a la mitad de la misma. Elegida una nota cualquiera, (por ejemplo un do) la octava superior (inferior) es también un do, pero de frecuencia más elevada (baja). La nota fundamental y su octava superior o inferior tienen la propiedad de ser de la misma "calidad", pero de un registro más agudo o más grave, respectivamente. La experiencia de oír la octava produce el misterio de la simultaneidad entre la diferencia y la igualdad que, curiosamente, es el mismo tipo de misterio presente en la creencia (muy arraigada, pero sin apoyo bíblico) de la trinidad (tres personas distintas y, sin embargo, las tres son una misma).


De la relación con la música se puede pasar a la alta magia, pues es conocido que ella se basa en una tríada: sonido, número y forma. También este misterio de la simultaneidad entre la diferencia y la igualdad debería darse en los aspectos "forma" y "número". En cuanto a la forma, un objeto que cumple la propiedad "tres cosas distintas que son una misma" es el espacio euclidiano de tres dimensiones. Cada coordenada es diferente de las demás; pero, en esencia, son la misma cosa; porque una misma dirección en el espacio puede desempeñar simultáneamente papeles diferentes para distintos observadores. En cuanto al número, hay un secreto celosamente guardado tras la expresión "RERE RER", que indica una cosa que está dos veces y una vez y media (o una vez, dos veces y media vez). La inclusión de la creencia trinitaria en algunas religiones me parece más un mensaje esteganográfico que una verdad o una necesidad teológica y tiene su origen en el mundo pagano de los sacerdotes practicantes de magia. Hay tríadas en muchas religiones antiguas, en la India, en Caldea, en Egipto. Los antiguos practicaban esta filosofía y tenían una geometría sagrada que no nos ha llegado a nosotros en la matemática contemporánea, pero cuyos residuos han sido conservados en secreto en sociedades iniciáticas como, por ejemplo, la Masonería.


Se distingue entre la hechicería y la magia. Para lograr sus fines, el hechicero manipula la materia; se vale de objetos, sustancias químicas y otras cosas tangibles. El mago, en cambio, utiliza su espíritu; se vale de rezos, invocaciones y símbolos más abstractos. La práctica de la alta magia recurre a construcciones geométricas y al "recitado" de fórmulas verbales. En la alta magia, el ritual involucra a una tríada: número, sonido y forma. No sólo es importante lo que se dice, sino cómo se dice; adquieren valor no sólo las palabras, sino su entonación y ritmo. Por supuesto, hay rituales que combinan ambas técnicas en distintos grados. Existe un dogma que "explica" el por qué de las acciones que lleva a cabo el mago, pero yo no soy capaz de dar todavía una explicación científica racional a todo esto. No obstante, mi actitud inicial no es despreciar ni burlarme de lo que no conozco o no entiendo; antes bien, observo con atención, prudencia y respeto. Hasta tanto no tenga premisas suficientes, no emito juicio, ni a favor, ni en contra, de la validez de ciertas explicaciones. Dada la prohibición bíblica de involucrarse en estas prácticas (Levítico 19: 26 y 19: 31), aconsejo enfáticamente al lector no participar de ninguna actividad de este tipo; inclusive para el lector agnóstico o ateo, esto es cualquier cosa menos un juego. Y no olviden que "la curiosidad mató al gato". En cuanto a la vinculación de sonidos con formas, hay una observación interesante. En las proporciones de las construcciones geométricas, en algunas leyes físicas o astronómicas (como la ley de Bode) y en las proporciones de las construcciones arquitectónicas, se hallan a menudo acordes musicales mayores y menores. Inversamente, en la música hay implícitamente construcciones geométricas. Si fuera posible determinar la correspondencia exacta entre ciertos conjuntos de sonidos y algunas figuras geométricas (esto no puede hacerse arbitrariamente), se podrían "ver" las grandes sinfonías y las grandes óperas. De las imágenes obtenidas, seguramente podrían derivarse interesantes teoremas y, quizás, también mensajes de otra naturaleza. La música, formulada especialmente para ello, no sólo produciría estados de ánimo, sino que podría introducir ciertos mensajes subliminales o disparar algunos procesos mentales. Los antiguos hablaban de la "sinfonía de las esferas" o la "sinfonía cósmica" y no era una licencia poética. Aunque no afirmo nada, llamo la atención del lector al hecho de que, desde Einstein, el universo es una síntesis geométrica y todo parece, además, reducirse a fenómenos ondulatorios. Veamos algunas opiniones:

"La arquitectura es música congelada" Matila Gyka duda en atribuir esta frase a Novalis o a Schelling. Para mayor confusión, busqué en Internet la frase encomillada y figura como pronunciada por el filósofo alemán Arthur Schopenhauer.

"La matemática es un verdadero arte, que puede colocarse junto a las artes plásticas y a la música... Sobre todo, está relacionada con las grandes arquitecturas dórica y gótica, etc. La arquitectura de los grandes templos egipcios constituye un tratado mudo de geometría... y el análisis matemático es a la inversa una arquitectura del más alto estilo."

Oswald Spengler (La Decadencia de Occidente)

"Desde los átomos hasta el universo, cada uno de los movimientos cósmicos posee un tempo, un ritmo, una periodicidad, y puede compararse entonces a la vibración, y por tanto a un sonido que expresa su naturaleza. No todas las vibraciones son perceptibles a nuestros oídos, pero las relaciones entre las vibraciones pueden compararse a las relaciones entre frecuencias audibles. Todos los átomos pueden considerarse así como la forma de una energía que se expresa en un ritmo, y todas las sustancias están caracterizadas por una relación particular de ritmos que se puede representar mediante una relación de sonidos. Es gracias a esta similitud entre, por una parte, las relaciones de los sonidos, y por otra, las formas y las sustancias de la naturaleza, como se hacen posibles el lenguaje y la música."
"Los sonidos puros, los sonidos inmateriales que constituyen la naturaleza profunda de las cosas y que Kabir llama «su música inaudible», se pueden percibir mediante instrumentos más sutiles que nuestros oídos. Llegar a su percepción constituye una de las metas de la práctica de esas curiosas disciplinas fisio-mentales llamadas yoga."

Alain Daniélou, "Traité de musicologie comparée"

"El nombre natural de un ser es el sonido producido por la acción concordante de las fuerzas móviles que lo constituyen. Por eso se suele decir que aquél que pronuncie mental o físicamente el nombre natural de un ser da la vida al ser que lleva ese nombre."(X)

Sir John Woodroffe

Entre los radioaficionados es común conversar de anécdotas de resonancias extrañas que, a veces, ocurren en objetos impensados, como un balde con una cantidad de agua y muy cerca del marco metálico de una puerta, en las proximidades de una estación comercial de onda corta: de este balde (o del conjunto) salía el programa transmitido en forma audible. Otro caso fue el de un pobre hombre que no podía dormir "porque escuchaba voces"; siendo que tenía una amalgama en su dentadura que sintonizaba una estación de radio. Lo cierto es que las ondas electromagnéticas no sólo pueden ser utilizadas mediante técnicas eléctricas, sino también por medios mecánicos. Estas ondas producen un movimiento real en las sustancias dieléctricas, que es inaudible y pertenece al campo de los ultrasonidos.

Para terminar, les cuento una anécdota vinculada al tema. Cuando vi la película "En nombre de la rosa", me sorprendió una escena en la que un monje queda atónito cuando observa que Sean Connery lee un libro con la vista, en vez de en voz alta, como los demás. Reconocí inmediatamente un fondo mágico en todo esto. Para el punto de vista mágico antiguo, la palabra era una potencia, debía ser enunciada para que cobrara efectividad (Ver "X"). La actitud apresurada del hombre actual es la de calificar estas acciones como tonterías, supercherías de las mentes ignorantes de entonces. ¿Qué diferencia puede haber entre leer "con la vista" y en voz alta? La única posible -dirán con cara de doctos- es que de una forma actúa solamente la memoria visual y, de la otra, también la auditiva. ¡Ajá! ¿Sólo eso? ¿Está seguro? Yo no lo estoy tanto. La lectura en voz alta elimina completamente el ritmo alfa, aún para el individuo cuyo electro-encefalograma pertenece al tipo P extremo (1).

Tanto en la hechicería como en la magia hay lo que podríamos llamar "una escala cultural". Ciertas formas mágicas son producto de mentes poco desarrolladas, de individuos de escasa sabiduría. Como ejemplo, podemos citar el "Culto del Cargo", una forma primitiva de magia imitativa que desarrollaron unos nativos que vivían tal como creemos lo hacían los hombres del neolítico. En medio de la Segunda Guerra Mundial, esta tribu encontró de pronto a los hombres blancos y comenzaron a observarlos con curiosidad ávida. Los militares plantaban antenas de radio, colocaban las cajas que contenían el transmisor y el receptor sobre mesas y se sentaban a hablar frente a ellas. Posteriormente llegaban unos enormes aviones, de los que descargaban equipos y todo tipo de pertrechos. En los contactos que se produjeron más tarde con estas primitivas personas, algunos soldados les obsequiaron chocolates, espejos, peines, comida enlatada y otros objetos comunes para nosotros; pero que para esta gente resultaban tesoros maravillosos que -literalmente- venían del cielo. Cuando la guerra terminó, los soldados se marcharon y, con ellos, la llegada de tesoros. Poco tiempo después comenzaron a construir mesas con ramas y hojas. Sobre ellas colocaron cajas armadas de la misma manera, y plantaron largas cañas a manera de antenas. En su sencilla lengua comenzaron a pedir "a los dioses" que les mandaran esos tesoros que salían de las entrañas de esos pájaros enormes y ruidosos, pero nada llegó. Trataron de "hacer lo mismo" que esos misteriosos blancos, pero no les dio resultado. Sin embargo, se creó un culto que duró un tiempo considerable y que podría ser un tiempo largo en tanto estos seres no desarrollen su mente para comprender lo que les ocurrió. En realidad ignoro si hoy subsiste ese culto, si esa tribu desapareció o si fue "absorbida" por nuestra civilización. En ciertos ritos mágicos elementales, en la hechicería de poca monta y en las supersticiones lo que subyace es ignorancia; objetivamente, ignorancia. No digo esto con desprecio hacia quienes tienen pobreza intelectual, pero honestidad; hacia quienes se comportan sin engaño hacia los demás, creyendo en lo que hacen. Hay una colección enorme de ritos y costumbres que no sirven para nada y una constelación de timadores que se aprovechan de la ignorancia ajena para vivir sin trabajar. Pero no hay que poner todo en el mismo saco. Como contrapartida hay, también, un conocimiento secreto y profundo de ciertas técnicas que no son para ignorantes y que operan eficientemente sobre realidades que la ciencia no admite oficialmente. A ellas han accedido y se han dedicado hombres de la talla de Roger Bacon, el abate Juan Tritemo, Giordano Bruno y hasta Newton. Al igual que Pawels y Bergier, digo: "no creo en todo, pero todo debe ser revisado" (Y agregaría: sin preconceptos).

Como Soddy, soy de los que creen que hubo una civilización anterior que fue destruida y que una parte de la humanidad sobreviviente reconstruyó lo que pudo de aquel saber perdido. Este saber fue ocultado al resto de sus congéneres y resguardado en sociedades que se encargaron de perpetuar ese saber secreto, inaccesible al vulgo. Ese conocimiento no sería sólo teórico y aplicable al mundo de la abstracción, sino también utilizable prácticamente; quizás hasta abra las puertas del dominio de las interacciones débiles por medios simples y de poco gasto energético, algo que nuestra civilización todavía no logró. (2)



(1)Existen tres grupos básicos con respecto al ritmo alfa: el grupo "R", que abarca alrededor de dos tercios del muestreo aleatorio de la población, y que contiene a las personas en las que los ritmos alfa desaparecen al abrir los ojos o al realizar un esfuerzo mental. El resto de la gente se reparte en partes iguales en los grupos "P" y "M". El grupo P es el de aquellos en los que el esfuerzo mental bloquea difícilmente los ritmos alfa; éstos persisten aún abriendo los ojos y manteniendo activa y alerta la mente. Estas personas tienden a la imaginación auditiva, cinestésica o táctil, antes que la visual. El grupo M -de minus- está compuesto por individuos cuyos procesos de pensamiento discurren casi por completo en términos de imaginación visual.

(2)En la alquimia se guarda con mucho celo un secreto que pudiera estar relacionado con esto. En los años previos a la Segunda Guerra Mundial, cuando los científicos buscaban afanosamente la fisión del átomo, dos personajes, que se dieron a conocer como alquimistas, se dedicaron a visitar a los más importantes físicos nucleares, advirtiéndoles de los peligros de los residuos producidos y describiendo, somera pero muy gráficamente, de qué se trataba un reactor nuclear. Después del triunfo de Fermi, alguien recordó lo que habían escuchado tiempo atrás de estos hombres; inmediatamente, los servicios de inteligencia comenzaron una búsqueda sostenida de estas personas, que resultó infructuosa. Uno de ellos fue fusilado en el norte de África antes de que pudieran hallarlo y el otro desapareció sin dejar rastro. Después comenzaron a comprar los libros antiguos que podían encontrarse en Europa a muy buen precio. En el atentado contra Hitler, también intervino una sociedad secreta alquimista llamada "Sapiens Donabitur Astris", de la que formaba parte el coronel que llevó el portafolio con la bomba. Esta sociedad fue la que estableció el contacto con el servicio de inteligencia británico, proveedor del explosivo. Pese a la gran cantidad de charlatanes, parece que algo serio hay; dado que no podemos dejar de admitir que el hecho de invertir recursos materiales y tiempo para buscar libros y manuscritos, o
capturar a ciertos personajes, resultaba tan importante como para preferir esto último a otras actividades propias de la guerra; a menos que creamos que en los servicios de inteligencia de las potencias que hoy dominan el mundo hay místicos y delirantes o personas que persiguen quimeras.


ASPECTOS MÁGICOS DE LA GEOMETRÍA ANTIGUA.

Las construcciones con regla no graduada de un solo borde liso, sin marcas e ilimitado y compás son de origen filosófico-religioso. Aunque nosotros recibimos esta tradición de los griegos, su origen es anterior. Pese a que le dieron un estilo propio, la sabiduría de los griegos se nutrió de las conversaciones mantenidas con los sacerdotes egipcios, quienes, a su vez, heredaron sus conocimientos de una cadena humana que comenzó con los primeros fundadores de Babilonia, en los días de Nemrod.

Esta doctrina secreta comprendía un sistema sexagesimal de medición de ángulos, una geometría sagrada y un alfabeto mágico.

El alfabeto mágico consiste en veintidós letras con triple significado: número, sonido y forma. Cada letra se asocia con un número y una figura geométrica regular y hay exactamente veintidós figuras geométricas planas y regulares que dividen sin resto a los 360 grados de la circunferencia.

El hebreo y el fenicio son alfabetos mágicos de este tipo; cualquier ritual en otras lenguas debe ser construido a partir de la correspondencia fonética con un alfabeto mágico.

El número asociado a cada letra es de significado divino, espiritual, simbólico o figurado; en cambio, el número de lados del polígono regular indica significado humano, material, concreto o terrenal. Por ejemplo: en la Biblia se narra la sucesión de diez plagas en Egipto. El número diez (correspondiente al decágono asociado a la letra zain, que significa lo completo en la tierra) nos sugiere que las plagas fueron materiales y que el sentido del texto es literal. Así, por ejemplo, cuando menciona la segunda plaga de ranas, se trata realmente de batracios (Éxodo 8: 1-15). Pero en el libro de Revelación o Apocalipsis(literalmente: "correr elvelo") las plagas son siete (el número asociado a la letra zain que señala lo completo en el cielo) y esto expresa que el significado no es literal sino figurado y, por ejemplo, la plaga de langostas no es de estos insectos sino que es un hecho que puede asemejarse, por su forma de ocurrencia y sus efectos, a una plaga verdadera. Las profecías, en general, tienen en la Biblia dos cumplimientos: el primero, a corto plazo y en pequeña escala; el segundo, a largo plazo y gran escala. Ambos tipos suelen expresarse, el primero, en días; el segundo, en años o semanas de años. Un ejemplo de esto podría ser la destrucción del Templo por los romanos y el fin de la civilización en el Armagedón. También los sucesos análogos suelen ser primero de significado literal y luego de sentido figurado o espiritual.

NÚMERO NOMBRE SONIDO FORMAS REGULARES

1..............Aleph........' ............................triángulo
2..............Beth..........b, v .........................cuadrado
3..............Ghimel......g, gu, gh ..................pentágono
4..............Daleth.......d, dh .......................hexágono
5..............Hé.............h ............................octógono
6..............Vau...........w ............................eneágono
7..............Zain..........z .............................decágono
8..............Chet..........j..............................dodecágono
9..............Teth...........t .............................pentadecágono
10............Yod............y .............................18 lados
20............Kaph..........k, kj ........................20 lados
30............Lamed........l ..............................24 lados
40............Mem..........m ............................30 lados
50............Nun...........n ..............................36 lados
60............Samekh.....s ..............................40 lados
70............Ayin.......... '...............................45 lados
80............Pe.............p ..............................60 lados
90............Tzadé........ts .............................72 lados
100..........Qoph.........q ..............................90 lados
200..........Resch........r ..............................120 lados
300..........Schin.........sch...........................180 lados
400..........Tau...........t, th..........................360 lados

El sistema sexagesimal de medida de ángulos tiene una vinculación muy fuerte con la astronomía local y con la trigonometría. El número 60 juega un notable papel en las revoluciones celestes aparentes. Cada 315 años el Sol y la Luna vuelven al mismo punto del cielo con un error de, aproximadamente, 7 u 8 minutos de arco. Esta última cifra equivale
aproximadamente al doble de la separación mínima que es capaz de detectar el ojo humano entre dos astros sin el auxilio de instrumentos de aumento. De tal forma, sobre un fondo de estrellas aparentemente fijas, a ojo desnudo, el Sol y la Luna se observan en el mismo lugar del firmamento.

Ocho períodos de 315 años equivalen a siete lapsos de 360 años. Después de 2.520 años el error acumulado es aún pequeño. Aquí encontramos el número de días/años de las pequeñas y grandes profecías registradas en el libro de Daniel.

También se produce una conjunción de Júpiter y Saturno cada sesenta años. El número 60 es, además, de la forma mn(m²-n²), con m = 4 y n = 1. Esto permite pasar con facilidad de un número cuadrado a otro; especialmente, de una terna pitagórica (un triángulo rectángulo) a otra, según la conocida identidad de Fibonacci. (1)

En las triangulaciones - propias de la astronomía local - también es importante el hecho de que el producto de los lados de un triángulo rectángulo diofántico (lados enteros) es siempre un múltiplo de 60.

Asimismo 60 es una vez y media 40. La noción de sesqui nos fue legada por los latinos, pero es más antigua y contiene una clave fundamental de la ciencia sagrada antigua, de la que no puedo decir nada por ahora. Cuarenta resulta ser el divisor máximo común de los múltiplos mínimos comunes entre la duración del año terrestre y los períodos de las revoluciones sinódicas de Venus y Marte y otros números "astronómicos" como 1.040. Es un número muy frecuente en la Biblia.

La geometría sagrada se caracterizaba por permitir sólo construcciones cuadráticas o reducibles y por el establecimiento de relaciones de analogía entre conceptos matemáticos y extramatemáticos. (*) Había una correspondencia entre un número y una entidad concreta. Esto último fue lo que impidió el establecimiento de reglas y estructuras generales y la algebrización de la geometría antigua. En esta geometría juega un papel importante el establecimiento de relaciones entre objetos a través de la proporción. La inexistencia del cero como número también tiene una importancia filosófica fundamental. La unidad no era considerada como un número, sino que era asociada a la divinidad antes del acto de la creación; era el origen de todas las cosas a través de la disección, de la dualidad diferenciadora, generadora de opuestos. Así, para los antiguos el dos era el primero de los números, considerado -entre otros atributos- femenino, como los demás números pares. (+) Para la filosofía imperante en el mundo de entonces no podía extraerse algo de la nada; los partidarios modernos del ocultismo, la metafísica o la filosofía pasada consideran a nuestra civilización, nuestra filosofía y nuestra matemática como nihilistas.(++)

NOTAS ACLARATORIAS


(1) Si bien la identidad de Fibonacci es muy posterior, en todo caso Fibonacci fue quien la redescubrió o quien la introdujo en nuestra civilización. La identidad es: [1/2(m²+n²)]² ± mn(m² - n²) = [1/2(m² - n²) ± mn]²
(*) El punto de vista descriptivo es moderno.
(+) Hay pequeñas variantes de una civilización a otra. Todavía hoy en Europa hay personas que no regalan un número par de flores porque se asocia a los números pares con lo satánico o con la mala suerte. Esto es un residuo de la filosofía antigua que otorgaba significados duales contrapuestos como femenino - masculino, blanco - negro, fijo - volátil,
etc.
(++) La postura moderna puede ilustrarse con la frase de Leibnitz:
OMNIBUS EX NIHIL DUCENDIS SUFFICIT UNUM (Uno basta para extraer todo de la nada) . La introducción de los números negativos y el cero como origen tienden a crear una filosofía materialista en la que Dios no es necesario, totalmente contrapuesta a la concepción antigua, que hacía salir todo de una unidad primigenia indiscernible que comenzó a manifestarse al dividirse a sí misma en pares de entes opuestos.

IMPOSIBILIDADES QUE PODRÍAN SER POSIBLES

Según el Teorema General de Ciclotomía de Gauss, de 1801, los ángulos que dividen la circunferencia en n partes iguales pueden ser construidos con compás y regla no graduada de un solo borde si y solo si n es una potencia de dos, puede escribirse como un número primo de la forma [(2 elevado a 2 elevado a ( j sub i)+ 1] o un producto de factores de estas dos clases, siendo desiguales todos los exponentes j1, j2, ... , jp; o sea, que no se repita ningún factor primo.

Si uno solo de estos ángulos "prohibidos o imposibles" de un número entero de grados pudiese construirse por el "método de los dioses", todos los demás lo serían también. Sin pérdida de generalidad, supongamos que tal excepción fuera un ángulo de veinte grados. La mediación o bisección es una operación lícita; así es que obtendríamos un ángulo de diez grados y luego uno de cinco. La suma o resta de ángulos (o arcos) también es una operación permitida; de modo que la diferencia entre el ángulo de 5 grados y el de 3 nos daría uno de 2, que diseccionado nos proporcionaría el ángulo unidad. A partir de éste se puede construir el que queramos.

Tal excepción, ¿existe? No puedo afirmarlo. Pero hay varios indicios extramatemáticos de que puede ser así.

Uno de esos indicios es que se haya perdido la pronunciación correcta del nombre de Dios en hebreo. La forma antigua de escritura del hebreo era la de escribir solamente las consonantes, sin ninguna indicación para las vocales; el lector, simplemente, pronunciaba las vocales de acuerdo al contexto o a ciertas reglas conocidas por los lectores de
entonces (Agregar las vocales de acuerdo al contexto no permitiría una lectura fluida).

El nombre de Dios estaba caracterizado por cuatro letras (Tetragrámaton): yod, he, vau, he; como una forma del verbo hebreo hawah, que significa "llegar a ser" (1). Conforme a la costumbre antigua, el nombre era una expresión de la personalidad, de una cualidad esencial o distintiva; aquí el nombre de Dios da el sentido de "Él Causa que Llegue a Ser", y lo identifica como a una persona que realiza infaliblemente sus propósitos y cumple todas sus promesas al debido tiempo; un nombre muy apropiado para el "Dios Único y Verdadero".

La explicación más corriente para el hecho de haber perdido esa pronunciación es que, en algún momento de su historia, los judíos desarrollaron la creencia supersticiosa de que era malo pronunciar el nombre divino en voz alta, como una exageración del mandamiento expresado en Génesis 20 : 7 (compare con Hechos 15 : 14 y Éxodo 9 : 16). Cuando tropezaban con el Tetragrámaton en alguna lectura pública, decían " 'Adhonaí" ("Señor Soberano"). Con el paso del tiempo el hebreo antiguo dejó de usarse en la conversación diaria y la pronunciación del nombre olvidada.

Esto puede ser cierto, pero quizás no sea completo. Las letras hebreas se relacionan con un número y con una figura geométrica plana regular, cuyo número de lados divide exactamente los 360 grados de la circunferencia. El tetragrámaton contiene un polígono de dieciocho lados, dos octógonos y un eneágono. Si fuera posible construir las figuras "imposibles" (eneágono y polígono de dieciocho lados) a partir de los octógonos y otras construcciones auxiliares como la estrella de David, la semi-sección meridiana de la Gran Pirámide o una cara de ella y ciertas sucesiones o proporciones como 1 - 2 - ½ ó 2 - 1½ [La fórmula RERE RER, de la alquimia], quizás podríamos completar la descripción anterior consignando una causa: doctos judíos introdujeron la idea supersticiosa en el pueblo con el fin de que nadie se diera cuenta de un secreto que, de continuar la pronunciación correcta del nombre, podía quedar al descubierto, al alcance de los profanos (los sonidos vocales no escritos podrían dar una idea de la orientación y posición de las figuras, según una especie de "gramática geométrica"). Esta creencia mía se ve respaldada por la escritura modificada de los números quince y dieciséis en hebreo, que en la grafía original representan abreviaturas del nombre divino, aunque la fonética de las formas femeninas o masculinas de los nombres de estos números nada tiene que ver con la pronunciación de la forma antigua de hawah. (En lugar de 10+5 y 10+6, se escribe 9+6 y 9+7, respectivamente)

El nombre de Dios tiene cuatro consonantes. Aunque la creencia de la trinidad no tiene apoyo bíblico (esto está reconocido inclusive en la Enciclopedia Católica), es común que se asocie a la deidad trina con un triángulo equilátero. Existen trinidades en muchas religiones paganas antiguas. Cualquier triángulo tiene cuatro puntos notables (ortocentro, incentro, circuncentro y baricentro) y cuatro criterios de igualdad. En el triángulo equilátero estos cuatro puntos notables coinciden en uno solo.

El ángulo central de un octógono interviene en el cálculo del coseno de la mitad de un ángulo dado: cos a = cos 45º [sqrt (1 + cos a)]. También es conocido que cualquier ecuación en una indeterminada es descomponible de una única forma en el producto de expresiones (x - a), donde a es una raíz de la ecuación. Si escribimos x - a = y, tenemos una recta con pendiente igual a la unidad; o sea, que forma un ángulo de 45º con el eje real. Especializando x por cualquier valor, estos productos dan el valor de la expresión de grado n para el x elegido. Esto es lo mismo que afirmar que cualquier ecuación de grado n en una indeterminada se descompone en el producto de n rectas, algunas de las cuales pueden coincidir por el grado de multiplicidad de una raíz, si se da el caso.

Reconozco que ante la fama justamente ganada por Gauss - quizás el matemático más grande de todos los tiempos - mis argumentos son muy débiles. Pero en un tema tan complejo como éste no sería difícil que se escapara algún detalle como una singularidad (la palabra no está usada en sentido técnico), algún caso especial no contemplado; sin descartar tampoco un ocultamiento intencional.

Veamos un caso no advertido en un problema mucho más sencillo que el que nos ocupa: en el libro "El Número. Lenguaje de la Ciencia" (2), cuyo autor fue el doctor Tobías Dantzig, profesor emérito de la Universidad de Maryland, se cita un teorema acerca de las ternas pitagóricas primitivas, que dice: "Teorema B. Uno de los catetos de un triángulo primitivo es siempre un múltiplo de 3 y el otro es siempre un múltiplo de 4; uno de los tres lados es siempre divisible por 5. Como consecuencia, el producto de los tres lados es siempre un múltiplo de 60." (Página 295)

Este libro mereció un comentario elogioso de Alberto Einstein (y lo suscribo), fue editado cuatro veces en inglés en su país de origen y dos en español en el mío. También figura en la bibliografía de la última reforma educativa en Argentina. Sin embargo, nadie advirtió que - como está enunciado - el teorema es falso. En efecto, 61² = 60² + 11²; 61 es una hipotenusa prima y 11 un cateto primo. Luego no secumple "un cateto es siempre un múltiplo de 3 y el otro es siempre un múltiplo de 4." El enunciado correcto debería ser: "Un cateto es siempre un múltiplo de 3; un cateto es siempre un múltiplo de 4; uno de los tres lados es siempre divisible por 5." La demostración, además, debe contemplar que un cateto puede ser primo.

El contraejemplo no es único:

181² = 180² + 19² ; 421² = 420² + 29² ; 1741² = 1740² + 59² ; 2521² = 2520² + 71².


Aunque este ejemplo no es un teorema importante, en temas más profundos o de más alcance a veces se deslizan errores análogos que pueden hacer incompleta una demostración. La falta de consideración de algún caso puede conducir a falsedades o a verdades parciales y estas omisiones pasan muchas veces desapercibidas; sobre todo cuando se trata de "trivialidades". Por ejemplo: en el artículo "Nuevas identidades para los amantes de la Teoría de Números", incluyo una segunda expresión para la factorización de una diferencia de cuadrados que creo es inédita. Si esto último es cierto, podemos imaginar a un matemático que al demostrar un teorema tropieza con una diferencia de cuadrados y analiza únicamente el caso (a + b) (a - b). La falta de estudio del otro caso seguramente falseará los resultados. Si realmente esta segunda factorización era desconocida por todos y no solamente por mí, entonces deben ser revisadas todas las demostraciones en las que aparezcan diferencias de cuadrados.


Otras veces el error consiste en un punto de vista impropio respecto del problema. Cito nuevamente al eminente doctor Dantzig:

"5.Sobre la trisección de un ángulo".

"Para probar que, en general, la trisección de un ángulo no puede efectuarse con regla y compás, sería suficiente, evidentemente, probar la existencia de algún ángulo particular para el cual ello no fuese posible."(Página 355, segunda edición en español, tomada de la cuarta edición en inglés)

En este caso el criterio usado por Dantzig no es válido. Esto es así porque la imposibilidad se deduce de la aparición de una ecuación cúbica irreducible para un ángulo particular, que en el libro citado es la trisección de un ángulo de 60 grados sexagesimales. Pero es posible
demostrar que si se logra la construcción de otro ángulo que no sea múltiplo de 3°, de 1° 30' o sus sucesivas mediaciones, mediante operaciones de regla y compás es posible construir un ángulo de 1° (pi/180) y, a partir de éste, todos los demás ángulos de un número entero de grados sexagesimales; por lo que el ángulo en cuestión podría construirse con el mismo método por otro camino diferente al que lleva a una particular ecuación cúbica irreducible. Habría que demostrar que es imposible hacerlo en la totalidad de los casos. Esta "totalidad" incluye ángulos "no enteros" (con minutos y segundos de arco).

NOTAS ACLARATORIAS

(1) El hebreo carece de los tiempos verbales de las lenguas indo-europeas, como el español. Los verbos hebreos se conjugan en modo perfecto o modo imperfecto y la calificación de acción pasada, presente o futura se deduce del contexto. El modo perfecto indica una acción completa o terminada y el imperfecto una acción todavía en curso o inconclusa. La traducción "llegar a ser" es una adaptación del significado de la palabra hebrea al modo español de hablar; corresponde al verbo "ser" en su modo imperfecto.
(2) Editado por Editorial Hobbs - Sudamericana S.A., Buenos Aires, 1.971.


EJEMPLOS DE OCULTAMIENTO DE CONOCIMIENTOS


Hay una antigua forma de cifrado que se denomina "esteganografía", que consiste en un lenguaje con doble significado: uno de uso general que nada tiene que ver con el mensaje encriptado y otro que es conocido solamente por los interesados. La forma dada al mensaje hace que nadie se percate de la existencia de un código secreto. Como ejemplo, supongamos que una banda de secuestradores rapta al hijo de un poderoso industrial y lo esconde en una zona rural donde se crían porcinos. Convienen que el mensaje "maten cerdo" signifique la muerte del secuestrado y "manden cerdo", su liberación. Si no existen sospechas previas, cualquier persona que escuche una conversación entre los criminales no se dará cuenta de que hay un mensaje oculto.

De forma análoga, en mitos, leyendas, cuentos, dibujos y casi cualquier forma imaginable de comunicación se pueden esconder contenidos inaccesibles a la mayoría de la gente, porque no despiertan sospechas.

Como ejemplo de "no todo es lo que parece ser", podemos "escuchar" las palabras que pronuncia Arbaces en "Los últimos días de Pompeya", de sir Bulwer Lytton, tal como aparece en la traducción española publicada por Editorial Sopena en 1.952, páginas 24 y 25:

"Por eso lo coloqué entre vosotros, y ahora es sacerdote."
"-Así es, en efecto -dijo Caleno- . Pero al estimular su fe le has quitado el juicio. Se horroriza al saber que lo hemos engañado. Nuestras sabias mentiras, las estatuas que hablan y las escaleras secretas le espantan e irritan; se queda en su celda y se consume lentamente; no asiste a nuestras ceremonias y no habla más que consigo mismo. Se dice que trata con personas sospechosas de pertenecer a esa nueva secta atea que niega todos nuestros dioses y que considera a nuestros oráculos como la inspiración del espíritu maléfico de que hablan las tradiciones orientales. ¡Nuestros oráculos! ¡Vaya! Si sabremos nosotros dónde se encuentra la inspiración de nuestros oráculos."
"- Ya me temía yo eso -dijo Arbaces preocupado -. Me di cuenta de lo que le sucedía por varios reproches que me hizo la última vez que lo vi. He notado que últimamente trata de huir de mí, pero debo encontrarlo y continuar mis lecciones. Quiero revelarle el santuario de la sabiduría, que hay dos grados de santidad: el primero, la fe; el segundo, el fraude; uno para el vulgo, el otro para los sabios."
"- Por el primero no he pasado yo -dijo Caleno- y creo que tú, Arbaces, tampoco."

"Te equivocas -replicó el egipcio -. Yo creo, no en lo que enseño, pero sí en lo que no enseño. Existe en la Naturaleza una santidad de la cual no podría ni me atrevería a dudar." ...

Bulwer Lytton fue considerado un erudito genial en cuestiones de la antigüedad y fue miembro de dos importantes sociedades secretas modernas. Por esto último, conviene consultar lo que dice Serge Hutin en la obra "Las Sociedades Secretas", publicada en español por EUdeBA, Colección Cuadernos n° 47, Bs. As. , 1.984: "El Gran Arquitecto no es un Ser superior al mundo: es la Fuerza que rige a la materia, la Ley del Universo del que los hombres solo pueden percibir las manifestaciones sensibles; no es el Dios creador del catolicismo, puesto que el "Gran Arquitecto" organiza una materia que él no ha creado, que hasta es impotente para crear."

En el último párrafo destacado por mí menciona una "santidad". Arbaces no nombra a una persona sino a una fuerza motriz, un propósito, un orden, algo impersonal, pero santo. A un Dios "persona", o sea, un Ser inteligente, que es Creador y Padre, hay que rendirle cuentas y Él tiene derecho de decidir lo que es bueno para sus creaciones. Con un dios impersonal la relación es menos comprometida; es más, no es necesaria, puede reducirse a una simple coexistencia. Esa "corriente que ordena la Naturaleza" solo exigiría que no interfiriésemos con ella. Creo que, en este caso, Arbaces refleja las creencias del autor, porque son las doctrinas que absorbió en la sociedad secreta a la que perteneció (La Rosacruz inglesa moderna fue fundada por Wentworth Little en 1867, quien reclutó 144 miembros de entre los dignatarios masónicos. Bulwer Lytton fue uno de ellos.) y que eran, además, las que prevalecían entre los sacerdotes del mundo pagano antiguo.


LOS SATÉLITES DE MARTE


Aunque no es un tema propio de un trabajo de matemáticas, he aquí un misterio que atrapa al menos curioso y que es fácilmente verificable en cualquier lugar de la Tierra, además de no requerir conocimientos de erudito para ello.

"Swift, en el Viaje a Laputa, da las distancias y los períodos de rotación de los dos satélites de Marte, desconocidos en su época. Cuando el astrónomo americano Asaph Hall los descubre, en 1.877, y advierte que sus mediciones concuerdan con las indicaciones de Swift, presa de una especie de pánico, los denomina Phobos y Deimos: Miedo y Terror."

"Le aterroriza también el hecho de que estos satélites aparezcan bruscamente. Otros telescopios más poderosos que el suyo no los habían revelado en la víspera. Parece, simplemente, que él fue el primero en examinar Marte aquella noche."

"Después del lanzamiento del Sputnik, los astrónomos contemporáneos han empezado a escribir que tal vez se trataba de satélites artificiales lanzados el día de la observación de Hall."

Robert S. Richardson
Observatorio de Monte Palomar, U.S.A.


"Mientras que un detalle de la superficie de Marte tendría que ser de 150 kilómetros de ancho para ser visto, un objeto luminoso, si es suficientemente brillante, podrá verse aunque sea de menor tamaño. Sabemos que los satélites de Marte, Fobos y Deimos, tienen unos pocos kilómetros de diámetro por la cantidad de luz que reflejan. Fobos, el menos alejado de Marte, está tan cerca de la superficie del planeta que gira alrededor de él en un período más corto que el de rotación de Marte. Desde el planeta se lo vería levantarse en el Oeste y ponerse en el Este, como a algunos de nuestros satélites artificiales. Seriamente se ha sugerido que Fobos es un satélite artificial de Marte. Una larga serie de observaciones demostró que la velocidad de Fobos, comparada con la que correspondería a la hipótesis de que se mueve bajo la atracción de Marte, está aumentando gradualmente. Los satélites artificiales terrestres se aceleran de la misma manera, debido al efecto de la atmósfera de la Tierra que hace que el satélite caiga en espiral a la misma. Pero si Fobos fuera de material rocoso, como un satélite natural, la densidad de la atmósfera marciana a unos pocos miles de kilómetros de la superficie del planeta tendría que ser mucho mayor que la real. Para que la atmósfera real produjera la aceleración observada, la densidad media de Fobos
debería ser tan baja que éste no podría ser sino una esfera hueca, es decir, ¡un satélite muy poco natural! Para resolver esta dificultad, algunos astrónomos han supuesto que la aceleración de Fobos se debe a una acción de mareas producida por Marte, aunque esto solo sería posible si la corteza de Marte fuera de una composición enteramente diferente de la corteza terrestre. Otros han elegido la hipótesis, más sorprendente, de que Fobos es artificial. Solo el tiempo dirá quién está en lo cierto."

Michael W. Ovenden.

(Fue profesor del Departamento de Astronomía de la Universidad de
Glasgow. También fue secretario de la Royal Astronomical Society.)
Extraído de "Life in the Universe. A Scientific Discussion. Doubleday &
Company, Inc., New York, 1.962. "La Vida en el Universo. Una Discusión
Científica", EUdeBA, Colección Ciencia Joven, Bs. As., 1.964.


"...A salir de Júpiter atravesaron un espacio de cerca de cien millones de leguas, y costearon el planeta Marte, el cual, como todos saben es cinco veces más pequeño que nuestro glóbulo, y vieron dos lunas que sirven a este planeta y no han podido descubrir nuestros astrónomos."

Voltaire (1.694 - 1.778) Micromegas (1.752), Capítulo III, "Viaje de los dos habitantes de Sirio y Saturno". Colección Clásicos Inolvidables, Voltaire, El Ateneo, página 622.


Voltaire y Swift escribieron acerca de los satélites de Marte más de cien años antes de su descubrimiento oficial. Si de por sí estos comentarios son desconcertantes, todavía provoca más sorpresa el siguiente de Voltaire: "como saben todos los que razonan por analogía, Marte no podría tener sino dos satélites."

El razonamiento por analogía forma parte del método mágico. Ahora bien, ¿dónde podrían encontrar los magos que Marte es acompañado por dos satélites? En la mitología greco-latina Marte o Ares es el dios de la guerra y sus compañeros son Phobos y Deimos, Miedo y Terror. ¿Es posible que la mitología occidental sea una cosmogonía disfrazada, un inmenso mensaje esteganográfico? ¿Esas extrañas historias de padres que devoran a sus hijos y luego los vomitan se refieren a planetas mayores y a planetas secundarios o a planetoides? ¿Es un relato de lo que sucedió en la formación del Sistema Solar?

A esto puede agregarse la confesión que hizo Giordano Bruno a sus inquisidores. Hoy algunos intentan hacer creer a la gente que Bruno era un científico, pero él murió por haber intentado explicar a sus jueces la verdadera naturaleza de su actividad; él mismo se confesó mago. El hecho de haber sido un hábil calculista no lo convertía en científico; quiero decir: un científico "racional", a la manera moderna.


LA LISTA SUMERIA DE REYES

"La Biblia es por excelencia un libro histórico entre los escritos antiguos. Los demás registros históricos, como los de los antiguos egipcios, asirios, babilonios, medos, persas y otros pueblos son, en su mayor parte, fragmentarios, y sus períodos más primitivos son oscuros o míticos a todas luces. En este sentido, el documento antiguo conocido como "La Lista Sumeria de Reyes" comienza diciendo: "Cuando la gobernación real fue bajada del cielo, la gobernación real fue (primero) en Eridu. (En) Eridu, Alulim (llegó a ser) rey y rigió por 28.800 años. Alalgar rigió por 36.000 años. Dos reyes (así) la rigieron por 64.800 años. [.....]
(En) Badtibira, En-men-lu-Anna rigió por 43.200 años; En-men-gal-Anna rigió durante 28.800 años; el dios Dumu-zi, pastor, rigió por 36.000 años. Tres reyes (así) la rigieron por 108.000 años." (Copiado de Ayuda para entender la Biblia, publicado por Watchtower Bible and Tract Society of New York, Inc. - International Bible Students Association- Brooklyn,
New York, U.S.A.; Aid to Bible Understanding Spanish (ad-S), 1.987, página 371). Las palabras entre paréntesis son agregadas por el intérprete de la tablilla de arcilla, pues corresponden a huecos producidos por roturas.

En cuanto a la historicidad de la Biblia y al carácter mítico del documento citado estoy completamente de acuerdo. Sin embargo, hay algo más debajo de la apariencia. Existen dos grupos de reyes y las duraciones de sus "reinados" abarcan dos períodos "históricos"; a saber:

a) 28.800 + 36.000 = 64.800
b) 43.200 + 28.800 + 36.000 = 108.000

Si cambiamos años por segundos de arco y convertimos éstos a grados sexagesimales, nos queda:

a) 8° + 10° = 18°
b) 12° + 8° + 10° = 30°

Los ángulos de doce, dieciocho y treinta grados se pueden construir con regla no graduada de un solo borde y compás, según el sistema religioso adoptado por los asirios, caldeos y babilonios; no así los de ocho y diez grados, si es válido el teorema de ciclotomía de Gauss de 1.801. Es claro que si existiera una sola excepción a la regla establecida por Gauss, todos los ángulos enteros se podrían construir por el método sagrado de los antiguos. He aquí una coincidencia demasiado significativa para ser considerada casual.

Este documento, aparentemente histórico para las mentes ingenuas del vulgo de entonces, puede ser un mensaje esteganográfico. Quizás los significados de los nombres o sus anagramas indiquen una pista para realizar una construcción geométrica de la que se deduzca esa excepción. También es factible que las figuras geométricas asociadas a las letras que componen los nombres conformen un conjunto del que sea posible deducir una expresión irracional cuadrática de gran complejidad que permita "partir" euclidianamente la circunferencia y hallar así los ángulos "imposibles".

Lo expuesto aquí se agrega a las mencionadas razonesextramatemáticas que me llevan a sospechar la existencia de un caso especial que permitiría acceder a la trisección de cualquier ángulo entero.

Los ángulos que pueden ser construidos con regla no graduada de un solo borde y compás forman un sub-anillo infinito y denso (Si a y b son dos ángulos, la media aritmética de ambos pertenece al sub-anillo) Como el producto de un ángulo del sub-anillo y otro cualquiera también pertenece al sub-anillo, éste es un ideal sin elemento unidad para el producto. También resulta un k-módulo, considerando un anillo de escalares enteros para la multiplicación de ángulos o arcos por un número entero. En ello reside la recalcitrante dificultad de la construcción de cualquier ángulo de un número entero de grados sexagesimales por el método antiguo. Si utilizamos nada más que ángulos del sub-anillo y las operaciones permitidas, estamos condenados al fracaso; excepto si existe un caso extraordinario que nos lleve a un resultado fuera del anillo. Este caso debería vincular ángulos del sub-anillo con otro fuera de él, mediante una relación que permitiera despejar el valor extraño por una forma cuadrática. La pista para encontrar una construcción semejante está en el carácter místico-religioso de algunos entes aritméticos, algebraicos o geométricos ("Triángulo sagrado egipcio", "divina proporción", "sagrado y divino tetraktys", RERE RER, estrella de David, semi-sección meridiana de la Gran Pirámide, etc.) ¿Por qué los masones dibujan el ojo de Dios sobre el vértice virtual de la Gran Pirámide, que, en realidad, es trunca? El lector interesado puede ver este dibujo en ciertos billetes de un Dólar.

Como es posible vislumbrar en esta pequeña exposición, no solamente se puede arribar a un resultado notable por la sobreabundancia de inteligencia, un coeficiente intelectual elevadísimo o la pertenencia a una súper-elite de mostruos más que humanos. Hay otros caminos. A través de la analogía, por ejemplo; asociando ideas matemáticas con otras que,
aparentemente, no lo son, y que parecen haber sido ocultadas por sus descubridores o los sobrevivientes de una catástrofe muy antigua de la que no hay memoria (o, quizás, sí la haya y no queremos aceptarlo), que destruyó una civilización anterior a nuestro registro histórico y cuyos restos hayan desaparecido de la faz de la Tierra. ¿Estarán en el fondo de
los océanos? Queridos amigos, el mundo se me antoja mucho más complejo de lo que nos parece. Hay que ver más allá de lo evidente.

La pregunta fundamental a responder es "POR QUÉ", la razón la dio Dante cuando dijo: "Veo que crees estas cosas porque yo te las digo, pero no sabes el por qué. De modo que no por ser creídas permanecen menos ocultas". Trabajo abnegado y perspicacia...y mi mejor deseo para todos.


RERE RER

Esta expresión encierra uno de los secretos máximos de la alquimia, junto con la materia prima, la graduación de los fuegos y el cierre de Hermes (algunos lo vinculan con el recipiente hermético). Pero no aplica solamente a esta disciplina.

Su descubrimiento parece ser consecuencia del estudio de los astros, de alguna relación matemática entre objetos celestes o sus revoluciones aparentes.

Los números 2 y 1½ son los catetos de un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a 2½. Multiplicando la terna por 2 obtenemos el triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5), que es el único triángulo rectángulo diofántico primitivo con sus lados en progresión aritmética (1). Para obtener una terna entera basta multiplicar la original por un número par. Pero si ese número par también es divisible por 3, podemos establecer una sucesión de ternas diofánticas que esconden un crecimiento gnomónico:

(3/2 a)² + (2 a)² = (5/2 a)² ; (2 a)² + 8/3 a)² = (10/3 a)² ; (5/2 a)² + (10/3 a)² = (25/6 a)² ; (3 a)² + (4 a)² = (5 a)² ; (7/2 a)² + (14/3 a)² = (35/6 a)² , etc.

Podemos observar que la suma de los dos primeros términos de la sucesión es igual al quinto y, en general, la suma de dos términos sucesivos también es un término de la sucesión. Por las características propias de esta sucesión los números 12, 30, 40, 60, 180, 360, 540, 720, 1260, 1040, 1080, 1440, 1460 y 2520 son catetos de triángulos semejantes y todos estos números intervienen de alguna forma en los cálculos de la astronomía local y en la confección de calendarios. (1460 está vinculado con el Ciclo de Sothis)

La geometría antigua permitía duplicaciones y mediaciones. La bisectriz de un ángulo resulta ser una vez y media su trisección.

También hay una coincidencia con la Estrella de David; esta estrella está formada por dos triángulos equiláteros entrelazados inscribibles en un hexágono regular. Simboliza la semejanza entre el macrocosmos y el microcosmos; como consta en el libro alquímico "Tabla de Esmeralda", atribuido a Hermes Trimegisto, que dice: "lo que está arriba es como lo que está abajo para realizar los milagros de una misma cosa".

La superficie de la unión de los dos triágulos es igual al doble de la superficie del hexágono inscripto en la estrella y la superficie de uno solo de ellos es una vez y media de del mismo hexágono interior (el que se forma por el cruce de las diagonales).

Puede establecerse otra conexión con la tercera ley de Kepler (2), ya que los exponentes están en relación 1 : 1,5.

"...a partir de la regla de Kepler de los tiempos periódicos de los planetas que se hallan en una proporción sesquivariable de su distancia a los centros de sus órbitas deduje que las fuerzas que mantenían a los planetas en sus órbitas debían ser inversamente proporcional a los cuadrados de sus distancias a los centros en torno de los que giran y, ..." (Isaac Newton) (3)

Para aquellos matemáticos que tengan elevados conocimientos de música, dejo la tarea de averiguar si hay relación entre el concepto de "sesqui" y las formas musicales "dosillo" y "tresillo". (Ver glosario).

NOTAS ACLARATORIAS

(1) Demostrado por W. A. Price, en The Fiel, Londres. El triángulo sagrado egipcio tiene otras propiedades notables. Plutarco señala que su área es 6 (el primer número perfecto) y que el cubo de su área es igual a la suma de los cubos de sus lados. Platón se basa en esta igualdad para calcular un número que llama "nupcial" (La República, libro VIII). Este triángulo es la semi-sección meridiana de la segunda pirámide de Gizeth y, junto con el ángulo central que abarca el lado de un octógono, la mitad de uno de sus ángulos agudos forma el ángulo del vértice superior de la cara de la gran pirámide (ese ángulo agudo más el ángulo de la inclinación del telescopio meridiano natural que apunta a la estrella polar, también da el mismo resultado)
(2)Los cuadrados de los períodos de revolución de los distintos planetas guardan la misma relación que los cubos de sus distancias medias al Sol.
(3)Es poco conocido que Newton practicó la alquimia. Como en su época ésta comenzaba a caer en descrédito, él ocultó sus escritos al respecto.


SERIA ADVERTENCIA.

Anteriormente hice mención a la prohibición bíblica de practicar las artes mágicas. Dios no es caprichoso y lo que aconseja u ordena es siempre para bien de sus criaturas. En este mundo complejo en el que vivimos, en donde conviven la bondad y la maldad y muchas cosas parecen no tener explicación coherente, algunos llegan a creer que Dios no existe o que no está interesado en nosotros. Recuerdo una conversación que tuve hace mucho tiempo con un español en Buenos Aires.
Él decía no creer en Dios por todo lo que había visto en la guerra civil, cuando niño: "Mi madre se exprimía una teta para vender la leche de mi hermanito y darnos de comer a nosotros, ¿dónde estaba tu Dios cuando eso pasaba?" Una pregunta muy comprensible, que cuando no rebibe la respuesta correcta (y la hay) lleva al descreimiento. Para los que no creen, dudan o no tienen a la Biblia como su texto sagrado, agrego algunos comentarios seglares como para reforzar lo dicho. Por ningún motivo debe el lector involucrarse en estas prácticas y menos si es inexperto y no sabe con quién se enfrenta. Dudo que haya un peligro mayor en este mundo.


Cuando tratas con lo desconocido, es siempre lo desconocido quien está a cargo.

Louis Pawells y Jacques Bergier


Todo hombre lleva su Patmos dentro de sí. Es libre de subir o no subir a este terrible promontorio del pensamiento, desde el cual se perciben las tinieblas. Si no va a él, permanece en la vida ordinaria, en la conciencia ordinaria, en la virtud ordinaria, y así está bien. Para el descanso interior es sin duda lo mejor. Si sube a la cima, queda preso en ella. Se le aparecen las profundas olas del prodigio. Y nadie puede ver impunemente aquel océano...Se obstina en el abismo absorbente, en el sondeo de lo inexplorado, en el esfuerzo por palpar lo impalpable, por mirar lo invisible; y vuelve allí, y vuelve de nuevo, y se acoda, y se abalanza, y da un paso, después dos, y así es como uno penetra en lo impenetrable, y así es como uno avanza en el ensanchamiento sin límites de la condición infinita.


Víctor Hugo


Los grandes designios son siempre cruzados por diversos encuentros y dificultades. La carne y la sangre nos dirán que hay que abandonar la misión; guardémonos de escucharlas. Dios jamás cambia las cosas que ha resuelto, aunque se produzcan cosas que nos parezcan contrarias.

Vicente de Paul.


Hay que guiarse en estas cosas por la prudencia, pues es fácil al hombre equivocarse, y nos hallamos en presencia de dos errores: unos niegan todo lo que es extraordinario, y otros, yendo más allá de la razón, caen en la magia. Hay que guardarse, pues, de los numerosos libros que contienen versos, caracteres, oraciones, conjuros y sacrificios, ya que son libros de pura magia, y de otros en número infinito que no tienen ni la fuerza del arte ni de la Naturaleza, sino que son embustes de hechicero. De otra parte, hay que considerar que, entre los libros que son tenidos por mágicos, los hay que no lo son en absoluto y que contienen el secreto de los sabios...Si alguien encuentra en estas obras alguna operación de la Naturaleza o del arte, que la guarde..."

Roger Bacon, Carta sobre los prodigios. (Existe una duda acerca de si este texto corresponde a Roger Bacon o a Francis Bacon. Si algún lector conoce con certeza esto, le ruego lo comunique)


Ningún énfasis parece suficiente, ninguna insistencia es mucha, para advertir al lector de los peligros del ocultismo. Practicar estas cosas solo puede traer degradación y muerte.

Cuando en este trabajo se mencionan creencias antiguas, conceptos de magia o cábala o cualquier otra de esas cosas, no se hizo con el propósito de alentar al lector a que se involucre en esas prácticas. Ninguna de ellas tiene valor alguno como filosofía de vida, como guía moral, para el buen desarrollo de la personalidad ni para la salud física; mucho menos la espiritual.

Es muy distinto adquirir información acerca de ciertos aspectos de estas materias que concuerdan con verdades o leyes naturales o ideales, para luego trabajar en el campo de la razón, sabiendo que - como todo - esas prácticas ocultistas son falsas o perjudiciales. Para que una mentira sea creíble debe asentarse en algunas verdades. Se trata pues, de ser prudentes y selectivos para tomar esas verdades sin ensuciarse con el resto. Siempre es peligroso trabajar con basura; es preferible la abstención frente a una duda. La práctica de estas artes es enemistad con Dios. (Deuteronomio 18:10-12 - Hechos 16:16-19 - Hechos 19:19-2)


UN SEGUNDO PELIGRO

En el ocultismo no está permitido trabajar con independencia. Todos los grupos de investigación o sociedades que se dedican a estas actividades han sido autorizadas a trabajar en determinados temas y no otros. Dentro de las sociedades secretas, los adeptos están contenidos y sus conocimientos resguardados por un juramento de silencio. Las pocas personas que se han atrevido a publicar algo independientemente de estas sociedades (generalmente místicos o seres con dotes paranormales) han sido destruidos; muchas veces en su fama y credibilidad y, otras pocas, físicamente. Esto, es claro, cuando lo que se dice tiene algo de peligroso para los intereses involucrados; cuando alguien se aproxima amenazantemente a la verdad oculta. Los traidores son castigados con la máxima severidad. La impunidad está asegurada por la pertenencia de jueces y jefes de policía a estas sociedades en no pocos países.

Sin embargo, Paracelso escribió algo muy interesante: "Dios permirá que se haga un descubrimiento de mayor importancia que debe quedar oculto hasta el advenimiento de Elías artista...Y es la verdad, no hay nada oculto que no deba ser descubierto; por eso tras de mí vendrá un ser maravilloso, que no vive aún, y que revelará muchas cosas."

De ninguna manera creo ser ese ser maravilloso. Tampoco estoy seguro de haberme aproximado peligrosamente a la Verdad, de manera independiente. Tengo más preguntas que respuestas. Lo cierto es que no traicioné ningún juramento, porque no juré nada; tampoco lo que escribo me fue revelado por un ser humano perjuro o infidente. No soy culpable ante nadie. Si lo escrito molesta a alguna autoridad oculta, si "los Superiores Desconocidos" existen y se disgustan por lo que me atreví a decir, apelo a su condición de caballeros que portan espada y tienen un código de honor que rige sus vidas. Si un tonto descubrió algo por sí mismo, quizás esté cercana la hora de la venida de Elías artista, quizás esté madura la cosecha. Dejen entrar a la digna Verdad, si es el tiempo; no sea que se encuentren luchando contra el Altísimo. Su situación se me antoja análoga a la de los Fariseos y sacerdotes ante Jesús y sus discípulos; recuerden a Gamaliel (Hebreos 5: 35-39). Depongan el orgullo y el egoísmo; privilegien la verdad. Compórtense como los caballeros que son y acepten la Autoridad que está por sobre ustedes. Si Dios quiere que una verdad se diga y no hay hombre que pueda decirla, ¡hasta las piedras podrían proclamarla!


GLOSARIO

Diofántico: Término adoptado en honor de Diofanto de Alejandría (325 - 409) y que denomina a los problemas en los que interesa obtener sólo soluciones en números enteros.

Dosillo: Grupo anormal de dos notas en un ritmo ternario (como seis por ocho), cuyo valor es igual al de tres de su figura.

Gnomon: Figura que es necesario agregar a otra para obtener una semejante a la anterior. este concepto se debe a Aristóteles.



Número perfecto: Es aquel entero positivo que es igual a la suma de sus divisores positivos excepto él mismo. En notación moderna, se dice que un entero positivo es número perfecto si, y sólo si, la suma de sus divisores positivos es igual a su duplo. Sólo se conocen números perfectos pares, aunque no se demostró la imposibilidad de un número perfecto impar. Tampoco se sabe si hay una infinidad de ellos.

Sinódico: Conjunción de dos planetas en el mismo grado de la eclíptica o en el mismo círculo de posición.

Revolución sinódica: Período que media entre una posición de un planeta en la eclíptica o en un círculo de posición y su repetición.

Tresillo: Conjunto de tres notas de la misma duración que se interpretan en el tiempo correspondiente a dos de ellas.
Última edición por Carlos Alberto Carcagno el 10-03-2012 21:40, editado 20 veces en total
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¿CONOCIMIENTOS OCULTOS EN LA MATEMÁTICA?

Notapor Carlos Alberto Carcagno » 12-09-2004 04:37

Estimados foristas:

Para los que ya leyeron este artículo, les informo que hice dos agregados al texto y pretendo hacer otro a la brevedad, con el fin de ampliar o aclarar algunas cosas.

Saludos.
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¿CONOCIMIENTOS OCULTOS EN LA MATEMÁTICA?

Notapor Carlos Alberto Carcagno » 20-09-2004 03:18

Amigos:

Ya publiqué lo que había prometido. Sería muy beneficioso para todos que algún matemático con conocimientos de música y armonía agregara algo a este artículo. Tengo entendido que todas las músicas primitivas eran pentatónicas y que la Iglesia de Roma prohibió ciertos acordes por satánicos. Los pitagóricos consideraban los acordes mayores masculinos y los menores femeninos. Un estudio matemático de la música y su relación con la teoría de números puede deparar resultados importantes, no sólo en la matemática, sino en la física atómica de bajas energías.

Saludos.

Carlos
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Notapor Josue Edgar Garcia Ovando » 11-10-2005 00:00

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Notapor Josue Edgar Garcia Ovando » 21-12-2005 15:50

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Notapor Carlos Alberto Carcagno » 02-07-2007 01:15

Hola:

Dos cuestiones para agregar al tema:

1ª) La semi-sección meridiana de la Gran Pirámide es un triángulo rectángulo que se obtiene de la siguiente forma: dividido el cuadrado base en cuatro cuadrados iguales, trazando semirectas desde las medianas de los lados opuestos, el triángulo queda conformado por un lado de esos cuadrados menores (la mitad de un lado del cuadrado base), la altura de la pirámide y la hipotenusa que une ambos extremos. En la mencionada pirámide esos lados son proporcionales a los números 1, en la base, la raíz cuadrada del número áureo, para la altura, y el número áureo para la hipotenusa, que corresponde a la apotema de la pirámide. Como se dijo este triángulo es el único que tiene sus lados en progresión geométrica. La segunda pirámide de Gizeh tiene un semi-triángulo meridiano proporcional al triángulo sagrado egipcio (3, 4, 5), el único que tiene a sus lados en progresión aritmética. La pirámide N de Dashouhr, la tercera del grupo, se semi-secciona en el triángulo rectángulo proporcional al triángulo (20, 21, 29).

En el inicio vimos la noción de sesqui, o la cantidad o proporción 1 y un medio. Los números 40 y 60 están sesqui-relacionados, pues 60 es una vez y media 40. Observemos qué pasa cuando colocamos esos números en los catetos y la hipotenusa de tres triángulos rectángulos:

(24, 32, 40) = 8 (3, 4, 5) [la hipotenusa es el tercer número de la terna]
(9, 40, 41)
(40, 42, 58) = 2 (20, 21, 29)

(36, 48, 60) = 12 (3, 4, 5)
(11, 60, 61)
(60, 63, 87) = 3 (20, 21, 29)


2ª) La Trigonometría es una ciencia de vieja data que nos fue legada por los griegos casi tal cual como la conocemos hoy, pero que proviene de fuentes anteriores que se pierden en el origen de los tiempos históricos y se relaciona con el estudio del cielo visible a simple vista. Siempre estas cuestiones estuvieron ligadas a la religión y al ocultismo y su práctica y conocimiento profundo estaba vedado al gran público, era una doctrina secreta que se conservaba en poder de los sacerdotes, sus cultos y sus misterios. Como ya dije, los griegos fueron los primeros laicos que accedieron a tales conocimientos y, ya en ese dominio, se hizo necesario organizar sociedades secretas e iniciáticas para resguardar los secretos del saber acuñado en la Antigüedad más profunda o alejada.

Las funciones trigonométricas son razones entre los lados de triángulos rectángulos. Para un mismo ángulo, no importa qué dimensiones tenga el triángulo, será semejante a uno cuya hipotenusa sea la unidad, todos los cocientes serán constantes, debido a la proporcionalidad. Si situamos a la hipotenusa en el primer cuadrante y uno de sus extremos en el origen, ésta será un número complejo. El cateto adyacente al ángulo en el origen será su parte real y el cateto opuesto su parte imaginaria. Los cocientes que dan los valores de las funciones trigonométricas coseno y seno serán, respectivamente, las componentes real e imaginaria de un complejo con el mismo argumento y con módulo unitario. Si observamos detenidamente las fórmulas trigonométricas para el coseno o seno de una suma de ángulos o cualesquiera otras, veremos que hay una coincidencia completa con las operaciones definidas en el campo complejo, siempre tomando en cuenta que se calcula un complejo de módulo unitario.

Los complejos pueden tener una representación lineal, binómica o cartesiana, pues todo complejo R = (a, b) depende linealmente de dos complejos fijos llamados U e i, donde U = (1, 0) e i = (0, 1). El complejo genérico R = (a, b) es igual a aU + bi. Si reemplazamos la forma cartesiana por la polar, es fácil demostrar que el producto de dos complejos R = ra y Q = qb, donde r y q representan respectivamente los módulos de esos complejos y a y b sus argumentos (a y b escritos como subíndices), es igual al producto de los módulos y a la suma de los argumentos.

De la misma forma el cociente de R por Q es:[r/q]a-b (a-b escrito como subíndice) ; el cociente de sus módulos y la diferencia entre sus argumentos.

La radicación n-sima es igual a la raíz n-sima (real) del módulo y a la n-sima parte del argumento. La potenciación es igual a la potencia n-sima del módulo y a n veces el argumento. (Se considera únicamente una raíz de las n posibles)

¿Qué hay en cuanto a la suma de complejos? Pues bien, el argumento de la suma es igual a la media aritmética de los dos argumentos. (Sería muy instructivo y saludable que el estudiante medite y demuestre todo esto por su cuenta)

Cuando los matemáticos fueron extendiendo el concepto de número para permitir la resolución de problemas imposibles en otros conjuntos hicieron uso de un principio que se llama “de permanencia”. Las operaciones definidas en los nuevos objetos deben conservar los resultados en los subconjuntos que corresponden a los números anteriores, en donde los nuevos números resultan isomorfos con los anteriores. (Por ejemplo, un complejo a U + 0 i es isomorfo al número real a)

Quizás por ese motivo no tomaron en cuenta que en el campo complejo entra en juego un nuevo factor que admite operaciones que no pueden definirse en los conjuntos de números anteriores. Si acabamos de decir que hay una media aritmética ¿por qué no admitir que pueden existir una media geométrica y otra armónica de los argumentos?

¿Qué operación binaria compleja, si existe, tiene por resultado la media armónica entre sus argumentos? La pregunta no es trivial y la respuesta tampoco.

Consideremos que no es de esperar de gente que fue capaz de hacer correcciones ópticas en el Partenón que nosotros recién descubrimos en 1.837 fuera tan ingenua como para mantener un sistema filosófico-religioso que se mostrara impracticable desde un comienzo. Los sumerios y babilonios colocaron un dios en cada grado sexagesimal en que dividieron la circunferencia. ¿Cómo hicieron para evadir el hecho de que no podían construir algunos de esos ángulos según su doctrina?

Los ángulos de 60º y 30º tienen expresión algebraica cuadrática para sus funciones trigonométricas. La media armónica entre ambos ángulos es: 40º . Si existiera una operación binaria compleja que diera por resultado la media armónica de los argumentos y esa operación fuese euclidiana, las funciones trigonométricas de 40º serían cuadráticas. Es probable que esa operación hipotética no tuviera siempre un desarrollo euclidiano, pero sí algebraico, pero bastaría con que existiese una excepción. Esta excepción explicaría –quizás- el por qué de las denominaciones sagradas de muchos conceptos u objetos geométricos o aritméticos. Habría, por lo menos, algún caso en que los tres argumentos puedan ser construidos euclidianamente: la media armónica entre 45º y 15º es 22º 30’, cuyas funciones seno y coseno valen la mitad de la raíz cuadrada de: 2 menos la raíz cuadrada de 2 y la mitad de la raíz cuadrada de: 2 más la raíz cuadrada de 2, respectivamente.

La pregunta fundamental a responder es "POR QUÉ", la razón la dio Dante cuando dijo: "Veo que crees estas cosas porque yo te las digo, pero no sabes el por qué. De modo que no por ser creídas permanecen menos ocultas". Trabajo abnegado y perspicacia...y mi mejor deseo para todos.
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Carlos Alberto Carcagno
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Notapor Carlos Alberto Carcagno » 02-07-2007 21:48

Hola:

Es necesario aclarar que quité una parte del mensaje original, donde hablaba de una patente de una radio electromecánica de la segunda mitad de los cuarentas. Resultó ser un fraude y yo lo di por cierto; me engañaron.

No obstante es cierto que cualquier onda electromagnética puede causar movimientos en las sustancias con momentos dipolares, variando los efectos según las frecuencias y las longitudes de ondas. Un ejemplo cotidiano lo constituye el horno a microondas, pero hay una diversidad de efectos. Por ejemplo, la precipitación del oxicloruro de bismuto varía su velocidad si se irradia el experimento con frecuencias de 3 KHz. Las plantas de trigo crecen más si se las somete a sonidos de 1 KHz ó 10 KHz. Que yo sepa no se han realizado experimentos en las mismas frecuencias, pero electromagnéticas.

Aunque la patente no existió, no descreo totalmente de que se pueda batir alguna radiofrecuencia y obtener su modulación, por ejemplo con cristales piezoeléctricos.

Saludos.
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Notapor Carlos Alberto Carcagno » 10-07-2007 12:51

Hola:

Hemos visto una relación entre la música y la geometría sagrada y tocado muy superficialmente el tema RERE RER, que es una clave fundamental del saber oculto. Yo no recuerdo ahora en la casa de qué personaje está grabada esta inscripción en un friso de una sala. Esta casa es un museo en Europa.

Veamos ahora la escala perfecta o natural mayor, debida a Claudio Ptolomeo:

Comienza por la nota DO, que corresponde a la unidad y a la frecuencia de 264 Hz (o ciclos por cada segundo), continúan: RE, 9/8 = 27/24 - 297 Hz; MI, 5/4 = 30/24 - 330 Hz; FA, 4/3 =32/24 - 352 Hz; SOL, 3/2 = 36/24 - 396 Hz; LA, 5/3 = 40/24 - 440 Hz; SI, 15/8 = 45/24 - 495 Hz; DO, 2 = 48/24 - 528 Hz.

La nota FA es la media armónica de la octava y SOL corresponde a sesqui veces el Do inicial (está sesqui-relacionada con el DO). Tanto el SOL como el DO que completa la octava representan a los catetos del triángulo sagrado egipcio (3/2, 2, 5/2), de igual forma en sus proporciones como en sus frecuencias. La hipotenusa del triángulo está en la octava siguiente y corresponde a la nota MI, 5/2 = 60/24 - 660 Hz (la proporción tomada desde el Do inicial de la anterior escala).

Los triángulos (3/2, 2, 5/2), (3, 4, 5) y (396, 528, 660) son semejantes. El tercero es 264 veces el primero y 132 veces el segundo.

Haría mucha falta el aporte de un matemático con conocimientos de música o un músico afecto a las matemáticas, que aclaren un poco y amplíen lo concerniente a estas cuestiones musicales.

Saludos y ¡alguien que se anime, por favor!
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Notapor Carlos Alberto Carcagno » 23-07-2007 23:34

Hola.

Si dibujamos un triángulo sagrado egipcio de catetos 3 y 4 e hipotenusa 5, su recta de Euler parte del vértice con el ángulo recto hasta el medio exacto de la hipotenusa. El vértice del ángulo recto es el ortocentro y en la mitad de la hipotenusa se halla en circuncentro, que permite trazar la circunferencia que circunscribe al triángulo. Esa recta divide al triángulo en dos triángulos isósceles, cuyos ángulos no idénticos son, respectivamente:106º 15' 36,7369499230466626395895745274432..." y 73º 44' 23,2630500769533373604104254725567...".

Precisamente la función seno del último ángulo es igual a 24/25, el número por el que hay que multiplicar una nota de la escala diatónica para obtener su bemol.

Como se puede apreciar, hay una cantidad de coincidencias que ya no parecen ser tales, sino una verdadera relación entre la aritmética, la geometría euclidiana, la astronomía y la música, como eran concebidas por los antiguos. Formaban un sistema cuádruple, en donde sonido, número y forma tenían vinculación con la alta magia pagana.

Sigo necesitando un experto en armonía que sepa, además, matemáticas.

Saludos.
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Notapor Carlos Alberto Carcagno » 03-08-2007 23:45

Hola:

Hoy estuve haciendo algunos cálculos infructuosos, pero me sirvieron para ver que la pregunta "¿qué operación definida entre dos números complejos da por resultado la media armónica de sus argumentos?" se reduce a responder: "¿qué operación entre dos números complejos tiene por resultado el producto de los argumentos?"

Esta pregunta podría contener la respuesta que catapulte el conocimiento de nuestra civilización hasta alturas insospechadas.

Pero el que no sabe es como el que no ve. Por ahora estoy ciego.

Saludos.
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