¿El cero dentro de los enteros positivos?

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¿El cero dentro de los enteros positivos?

Mensajepor Ryuuzaki » 11-10-2005 22:11

Hasta ahora, siempre he pensado el conjunto Z+ estaba ahí para no tener que escribir N U {0} cada vez que quisiéramos escribir el conjunto de los números naturales y el cero. Sin embargo, esta mañana, en clase de matemática discreta y álgebra, la profesora ha dicho que el cero no entra en el conjunto de los números enteros positivos. Cuando ha dicho eso, yo he preguntado qué diferencia entonces al conjunto Z+ del conjunto de los números naturales, a lo que ella ha respondido que no tienen diferencia alguna, que son equivalentes. Que si quisiera incluir el cero, tendría que escribir Z+ U {0}.

La verdad que eso no me ha terminado de convencer. ¿Es eso cierto? Si lo fuera, ¿qué sentido tiene que haya dos conjuntos exactamente iguales? A mí me han enseñado que en las matemáticas nunca hay dos cosas iguales, que si hay igualdad aparente es porque cada cosa tiene su peculiaridad.

¿Podríais aclarar mi duda? Gracias.
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Mensajepor fabriciano » 11-10-2005 23:43

La diferencia está fundamentada en los resultados de las operaciones. Se pueden identificar los enteros positivos con los naturales, porque en esencia representan lo mismo. La diferencia (resta) entre dos números naturales no es siempre posible (3 - 7), pero entre dos enteros positivos si que lo es (3 - 7 = -4), ya que el resultado es un entero (negativo). En consecuencia, la resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales, pero si lo es en el conjunto de los enteros (en realidad los enteros positivos son un subconjunto de los enteros).

Hay otras justificaciones para diferenciarlos (N y Z+), pero creo que con la anterior puede servirte.

Un saludo.
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Mensajepor Ryuuzaki » 12-10-2005 00:08

Pero, ¿en el caso que has puesto se puede aplicar la resta? Los enteros positivos son un subconjunto de los enteros, pero si obtienes el -4 ya no estás dentro de ese subconjunto, es sólo un entero, no un entero positivo...
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Mensajepor fabriciano » 12-10-2005 15:56

En mi explicación me refiero al conjunto de los números enteros (Z). En matemáticas las definiciones de las distintas categorías de números se hacen por conjuntos, no por subconjuntos.

Tienes razón en parte al decir, ¿qué sentido tienen los números naturales si coinciden con los enteros? En Educación Primaria, los alumnos estudian los números naturales. Se les dice que son los que sirven para contar (de ahí que se incluya el cero; más adelante, cuando se definan utilizando otros principios, el cero no se considera natural, aunque si entero). A partir de ellos los niños estudian las distintas operaciones. Sólo más adelante se les habla de los números enteros, partiendo también de conceptos intuitivos: representación de temperaturas, de alturas y profundidades... Y se les indica que los enteros positivos se pueden escribir sin el signo más (+) delante, identificándolos con los naturales.

Cuando los alumnos llegan a niveles superiores, la definición de números enteros se hace a partir de los naturales (producto escalar). Aquí es cuando, matemáticamente, la diferenciación es más evidente: necesitamos un conjunto para llegar a otro. (Supongo que ya habrás visto esta forma de estudiar los números enteros: un entero es un par de números naturales; el número representado es la diferencia entre la primera y la segunda componente del par).

Un saludo.
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Mensajepor Ryuuzaki » 12-10-2005 16:33

Ya, entiendo que los naturales están dentro de los enteros, los enteros dentro de los racionales y demás.

Mi pregunta no es por qué existen los números naturales si existen los enteros (entonces sólo existiría el conjunto de los complejos), sino por qué existe y se utiliza el subconjunto Z+ si es idéntico al conunto de los números naturales. Yo creía que su diferencia era que el cero no estaba incluído en N, pero sí en Z+, pero mi profesora me ha dicho que no es así. Por eso quiero saber si hay algo que diferencie a Z+ (no Z, sino sólo el subconjunto de los positivos) de N.
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Mensajepor fabriciano » 13-10-2005 17:14

Pues en la práctica no hay nada que diferencie Z+ y N. Sólo se diferencian en el concepto, tal como te expliqué.

Ten en cuenta, siguiendo el mismo razonamiento que haces, que los racionales que tienen iguales el numerador y el denominador se identifican con los enteros; pero por ello debemos despreciarlos y considerarlos enteros, ya que en realidad son racionales (atendiendo a como se han definido: par de números enteros).

Un saludo.
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Mensajepor Ryuuzaki » 13-10-2005 18:49

Ok, gracias, fabriciano. La verdad es que me parecería más lógico y útil que entrara el 0 en Z+, pero yo no soy quien decide eso :lol:

Un saludo.
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Mensajepor fabriciano » 13-10-2005 19:04

Ni tu decide, ni yo tampoco.

Un saludo.
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Mensajepor Ryuuzaki » 16-10-2005 20:24

Cada vez estoy más confuso. Revisando apuntes, he visto que tengo que apuntado que el cero sí entra en Z+, y eso es de este año (con otros profesores) y copiado de sus apuntes... Y en internet también he visto en varias partes que sí entra.

Siento ser tan pesado, pero estoy hecho un lío. ¿Tan difícil es ponerse de acuerdo?
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Mensajepor fabriciano » 16-10-2005 21:14

Pues yo estoy de acuerdo con los que dicen que el número cero no es un número entero positivo. Para expresar el conjunto de los números enteros podemos utilizar la unión: Z = Z- + {0} + Z+.

En Internet no toda la información es veraz. Si se identifican, como ya hemos dicho, los números naturales con los enteros positivos y el cero no es un número natural, tampoco puede ser un entero positivo.

Aquí tienes alguna muestra de lo que te digo:

- Números Enteros
- Icarito Interactivo - Matemáticas
- Número Entero - Wikipedia.

Un saludo.
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