La ciudadela está protegida por una muralla con cuatro torres. Tal como se ve en la figura. Las dimensiones de las torres son en metros (ver figura). En el caso de un ataque se pueden colocar 50 hombres en cada torre y 1 hombre por cada metro de muralla.
- Se sabe que la muralla (torres incluidas) está defendida por 560 hombres. Sin hacer ningún cálculo especial, indica cuál es el perímetro exterior de la ciudadela.
- ¿Cuál debe ser la forma exacta de la muralla para que la superficie interior sea máxima?
- ¿Cuál es valor de esa superficie?
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Solución
Los que no sean capaces de resolver el problema o quieran comprobar si su solución es válida, pueden leer lo que viene a continuación:
1.- Cada torre tiene un perímetro exterior de:
20 + 20 + 5 + 5 = 50 metros
Como cada torre está protegida por 50 hombres y, a lo largo de la muralla, hay un hombre por cada metro, al haber en total 560 hombres, el perímetro será de 560 metros.
2.- La superficie interior se corresponde con la del cuadrilátero ABCD menos la de cuatro cuadrados como el AXYZ, de 5 metros de lado.
El perímetro del cuadrilátero ABCD será al perímetro exterior menos 4 veces 20×2, es decir, 560 – 160 = 400 metros. La mitad de ese perímetro será igual a AB + CD.
Para que el producto de ABxCD sea máximo se ha de cumplir que AB = CD. Por tanto, la ciudadela será cuadrada. Así que AB es de 100 metros. Por lo que la superficie ABCD tendrá un área de 100×100 = 10.000 metros cuadrados.
3.- La superficie interior será 10.000 – 100 = 9.900 m2.
