Turistas y autobuses (Solución)
Hay varias formas de enfocar la solución del problemas. Os ofrecemos
tres:
Primera solución
Sea 33 - x el
número de personas por autobús, x=1, 2,..., 33.
Sea A el número de autobuses y T el número de Turistas.
De la condición 1 en el enunciado se tiene
22A = T - 1 ....(1)
De la condición 2 en el enunciado se tiene
(33 - x)(A - 1) = T ... (2)
De (1) y (2) es fácil ver que T = 23( (22/(11-x)) + 1 )
Como T debe de ser entero, entonces 22/(11 - x) debe de
ser entero. Los números positivos que dividen a 22 son
1, 2, 11 y 22. Por lo que x = 10, 9, 0, -11,
respectivamente. Es fácil ver que sólo x = 10 satisface
la condición de que A sea número entero; que A = 24, T=
529, y que se asigna 23 personas por autobús.
Segunda solución
- x = número
de turistas.
- y = número de
autobuses.
La primera
vez se suben 22 turistas por autobús y sobra uno; o sea:
22y +1 = x
La segunda vez hay un autobús menos, así que (y - 1). El
numero de turistas por autobús es x/(y - 1). Esa división
tiene que ser menor de 33. Queda así:
x/(y-1)<33
Con la ecuación de antes se construye un sistema y se
despeja una de las dos incógnitas. El resto es por
tanteo, hasta que de un número entero y sale el
resultado.
Tercera solución
Sea x el
número total de autobuses.
En un
principio se sientan 22 turistas en cada autobús, y
sobra un turista. Esto quiere decir que el número total
de turistas es 22x + 1.
Sea y el
número de turistas que se sentaron en cada autobús, sin
sobrar turistas.
Como no se
utiliza uno de los autobuses, entonces se necesitan x –
1 autobuses para que se puedan sentar perfectamente
todos los turistas.
Luego, como
en cada bus hay y turistas, el número total de turistas
es también y(x – 1).
Esto nos
conduce a la ecuación 22x + 1 = y(x - 1), de donde se
obtiene
** x = (y + 1) / (y – 22)
Si hacemos z
= y - 22, se deduce que z +23 = y + 1.
Por lo que la expresión ** se reduce a x = (z + 23)/z,
es decir, x = 1 + (23/z).
Para que x
sea entero se requiere que z = 1 o z = 23. El caso z =
23 no satisface las condiciones del problema, así que z
= 1. Luego x = 1 +23/1 = 24.
Es decir, hay
24 autobuses, y 22x + 1 = 22*24 + 1 = 529 turistas.
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