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Turistas y autobuses

Un grupo de turistas decidieron sentarse en un conjunto de autobuses de tal manera que cada autobús contendría el mismo numero de turistas. En un principio trataron de sentarse 22 en cada autobús, pero sobró un turista. De pronto uno de los autobuses partió vacío y pudieron distribuirse con igual número cada uno de los autobuses restantes. Si cada autobús sólo puede acomodar a menos de 33 personas, ¿cuántos autobuses y cuántos turistas había originalmente?

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  1. SOLUCIÓN

    Sea x el número total de autobuses.

    En un principio se sientan 22 turistas en cada autobús, y sobra un turista.

    Esto quiere decir que el número total de turistas es 22x + 1.

    Sea y el número de turistas que se sentaron en cada autobús, sin sobrar turistas.

    Como no se utiliza uno de los autobuses, entonces se necesitan x – 1 autobuses para que se puedan sentar perfectamente todos los turistas.

    Luego, como en cada bus hay y turistas, el número total de turistas es también y(x – 1).

    Esto nos conduce a la ecuación 22x + 1 = y(x – 1), de donde se obtiene

    x = (y + 1) / (y – 22)

    Si hacemos z = y – 22, se deduce que z +23 = y + 1.

    Por lo que la expresión se reduce a x = (z + 23)/z, es decir, x = 1 + (23/z).

    Para que x sea entero se requiere que z = 1 o z = 23. El caso z = 23 no satisface las condiciones del problema, así que z = 1. Luego x = 1 +23/1 = 24.

    Es decir, hay 24 autobuses, y 22x + 1 = 22*24 + 1 = 529 turistas.